四元数傅里叶变换与四元数卷积的矩阵形式研究

我们研究了四元数版傅里叶变换与卷积运算的矩阵形式。四元数提供了一种强大的表示单元，但其使用困难主要源于四元数乘法的不可交换性，且由此导致 $\mu^2 = -1$ 在四元数域中有无穷多解。因此四元数矩阵在多个方面（特征结构、行列式等的定义）的处理都较为复杂。我们的研究成果阐明了四元数傅里叶变换矩阵与标准（复）离散傅里叶变换矩阵之间的关系，以及众所周知的复域定理向四元数推广的程度。我们特别关注四元数傅里叶变换矩阵与四元数循环矩阵（表示四元数卷积）之间的关系，以及后者的特征结构。我们给出了一个直接利用上述理论结果的的概念验证应用，其中提出了一种界定四元数卷积神经网络 Lipschitz 常数的方法。代码公开于：\url{https://github.com/sfikas/quaternion-fourier-convolution-matrix}。