正交辛李超群中对偶对的分类与双交换子性质

本文中，我们给出了实或复李超代数 $\mathfrak{spo}(E)$ 与李超群 $\textbf{SpO}(E)$ 中约化对偶对的完全分类。此外，通过考察正交辛李超群 $\textbf{SpO}(E)$ 在 Weyl-Clifford 代数 $\textbf{WC}(E)$ 上的自然作用，我们证明对于 $\textbf{SpO}(E)$ 中的约化对偶对 $(\mathscr{G}\,, \mathscr{G}') = ((G\,, \mathfrak{g})\,, (G'\,, \mathfrak{g}'))$，由 $\textbf{WC}(E)$ 中 $\mathscr{G}$-不变元构成的超代数 $\textbf{WC}(E)^{\mathscr{G}}$ 由李超代数 $\mathfrak{g}'$ 生成。我们得到了（实或复）李超代数 $\mathfrak{spo}(\mathrm E)$ 与李超群 $\textbf{SpO}(\mathrm E)$ 中约化对偶对的完全分类。利用该分类，我们证明对于 $\textbf{SpO}(\mathrm E)$ 中的约化对偶对 $(\mathscr{G}\,, \mathscr{G}') = ((\mathrm G\,, \mathfrak{g})\,, (\mathrm G'\,, \mathfrak{g}'))$，配备正交辛李超群 $\textbf{SpO}(\mathrm E)$ 自然作用的 Weyl-Clifford 代数 $\textbf{WC}(\mathrm E)$ 中由 $\mathscr{G}$-不变元构成的超代数 $\textbf{WC}(\mathrm E)^{\mathscr{G}}$ 由李超代数 $\mathfrak{g}'$ 生成。作为应用，我们证明了 Howe 对偶对 $({\textbf{SpO}}(2n|1)\,, {\textbf{OSp}}(2k|2l)) \subseteq {\textbf{SpO}}(\mathbb{C}^{2k|2l} \otimes \mathbb{C}^{2n|1})$ 成立。