斜Howe对偶与Young图的极限形状

我们考虑某些李群对偶对$(G_1, G_2)$作用在外代数$\bigwedge(\mathbb{C}^{n} \otimes \mathbb{C}^{k})$上的斜Howe对偶，通过分解为不可约表示之和，将其视为Young图上的概率测度。我们利用晶体基证明了对于对$(\mathrm{GL}_{n}, \mathrm{GL}_{k})$、$(\mathrm{SO}_{2n+1}, \mathrm{Pin}_{2k})$、$(\mathrm{Sp}_{2n}, \mathrm{Sp}_{2k})$和$(\mathrm{Or}_{2n}, \mathrm{SO}_{k})$，该斜Howe对偶的一个组合版本，这使我们能够将斜Howe对偶解释为某些部分六边形区域的菱形平铺上格子路径的自然结果。$G_1$-表示重数通过Lindström-Gessel-Viennot引理给出为行列式公式，并通过Dodgson凝聚给出为乘积公式。这些公式承认自然的$q$-类比，我们证明其等于$G_2$-表示的$q$-维数（至多相差一个$q$的整体因子），从而给出了组合斜Howe对偶的一个精细版本。利用这些乘积公式（在$q=1$时），我们取无穷秩极限并证明这些图一致收敛到极限形状。