Smilansky 模型的正则类比：谱性质

我们分析了 $L^2(\mathbb{R}^2)$ 上算子 $H=\frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\omega^2y^2-\lambda y^2V(x y)$ 的谱性质，其中 $\omega\ne 0$ 且 $V\ge 0$ 是具有紧支撑且足够正则的势。已知 $H$ 的谱依赖于一个一维 Schrödinger 算子 $L=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+\omega^2-\lambda V(x)$，并且当 $\inf\sigma(L)$ 变号时，该谱会发生实质性变化。我们证明，在临界情形 $\inf\sigma(L)=0$ 下，$H$ 的谱是纯本质谱且覆盖区间 $[0,\infty)$。在亚临界情形 $\inf\sigma(L)>0$ 下，本质谱从 $\omega$ 开始，且在区间 $[0,\omega)$ 内存在非空的离散谱。我们还推导了相应本征值矩的一个界限。