Smilansky-Solomyak 模型的磁版本

我们分析了两个相互关联的磁 Schrödinger 算子族的谱性质，即 $L^2(R^2)$ 中的 $H_{\mathrm{Sm}}(A)=(i \nabla +A)^2+\omega^2 y^2+\lambda y \delta(x)$ 和 $H(A)=(i \nabla +A)^2+\omega^2 y^2+ \lambda y^2 V(x y)$，参数满足 $\omega>0$ 和 $\lambda<0$，其中 $A$ 是对应于垂直于平面的均匀磁场的矢势，$V$ 是正则的非负且紧支势。我们证明了这些算子的谱性质分别关键地依赖于两个一维 Schrödinger 算子 $L= -\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} +\omega^2 +\lambda \delta (x)$ 和 $L (V)= - \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} +\omega^2 +\lambda V(x)$。根据算子 $L$ 和 $L(V)$ 是否为正，$H_{\mathrm{Sm}}(A)$ 和 $H(V)$ 的谱表现出急剧的相变。