关于分层薛定谔型算子的谱

本文的目标是对薛定谔型算子 $H=L+V$ 进行谱分析，即 Taibleson-Vladimirov 乘子 $L=\mathfrak{D}^{\alpha}$ 被势 $V$ 扰动。假设 $V$ 属于某类势，我们证明 $H$ 的离散谱部分可包含负能量，它也出现在 $L$ 的谱隙中。我们将 $H$ 的谱分为两部分：高能部分包含对应于位于势 $V$ 支撑上的本征函数的本征值，低能部分位于作用在 Dyson 分层晶格上的某有界薛定谔型算子的谱中。我们特别关注稀疏势类。在此情形下，若位置间距离序列趋于无穷足够快，我们得到 $H$ 的精确谱渐近。我们还获得了关于 $H$ 在（非遍历）随机势 $V$ 下的局域化理论的某些结果。例子阐明了我们的方法。