一类展现参数依赖谱转变的薛定谔算子的谱分析

我们分析了具有势 $|xy|^p - \lambda (x^2+y^2)^{p/(p+2)}$（其中 $p\ge 1$ 且 $\lambda\ge 0$）的二维薛定谔算子，该算子在耦合常数 $\lambda$ 的临界值处表现出谱性质的突变。我们证明在超临界情形下谱覆盖整个实轴。相反，对于低于临界值的 $\lambda$，谱是纯离散的，并且我们建立了其矩的 Lieb-Thirring 型界。在临界情形下，本质谱覆盖正半轴线，而负谱只能是离散的，我们通过数值方法证明了基态本征值的存在。