Hankel 算子特征值的渐近行为

我们考虑在 $\ell^2(\mathbb Z_+)$ 中实现为矩阵元素为 $h(j+k)$ 的无穷矩阵 $\Gamma$ 的紧 Hankel 算子。粗略地说，我们证明了如果当 $j\to \infty$ 时 $h(j)\sim (b_{1}+ (-1)^j b_{-1}) j^{-1}(\log j)^{-\alpha}$ 对某个 $\alpha>0$ 成立，则 $\Gamma$ 的特征值满足当 $n\to \infty$ 时 $\lambda_{n}^{\pm} (\Gamma)\sim c^{\pm} n^{-\alpha}$。渐近系数 $c^{\pm}$ 由渐近系数 $b_{1}$ 和 $b_{-1}$ 显式表示。对于在 $L^2(\mathbb R_+)$ 中实现为核为 $\mathbf h(t+s)$ 的积分算子的 Hankel 算子 $\mathbf \Gamma$，也得到了类似的结果。在这种情况下，特征值 $\lambda_{n}^{\pm} (\mathbf \Gamma)$ 的渐近行为由 $\mathbf h(t)$ 在 $t\to 0$ 和 $t\to \infty$ 时的行为决定。