有限汉克尔变换算子：特征函数与特征值衰减速率的一些显式及局部估计

对于固定的实数 $c>0$ 和 $\alpha>-\frac{1}{2}$，有限汉克尔变换算子记为 $\mathcal{H}_c^{\alpha}$，由定义在 $L^2(0,1)$ 上且核为 $K_{\alpha}(x,y)= \sqrt{c xy} J_{\alpha}(cxy)$ 的积分算子给出。对于算子 $\mathcal{H}_c^{\alpha}$，我们关联了一个正定、自伴的紧积分算子 $\mathcal Q_c^{\alpha}=c\, \mathcal{H}_c^{\alpha}\, \mathcal{H}_c^{\alpha}$。值得注意的是，积分算子 $\mathcal{H}_c^{\alpha}$ 和 $\mathcal Q_c^{\alpha}$ 与一个 Sturm-Liouville 微分算子 $\mathcal D_c^{\alpha}$ 对易。在本文中，我们首先给出了算子 $\mathcal H_c^{\alpha}$ 或 $\mathcal Q_c^{\alpha}$ 的特征函数 $\vp$ 的一些有用的估计和界限。这些估计和界限是通过应用 Sturm-Liouville 算子理论中的一些特殊技术于微分算子 $\mathcal D_c^{\alpha}$ 而获得的。若 $(\mu_{n,\alpha}(c))_n$ 和 $\lambda_{n,\alpha}(c)=c\, |\mu_{n,\alpha}(c)|^2$ 分别表示算子 $\mathcal{H}_c^{(\alpha)}$ 和 $\mathcal Q_c^{\alpha}$ 的特征值的无穷可数序列，并按其大小降序排列，则我们展示了一个意想不到的结果：对于给定的整数 $n\geq 0$，$\lambda_{n,\alpha}(c)$ 关于参数 $\alpha$ 是递减的。由此，我们证明了对于 $\alpha\geq \frac{1}{2}$，$\lambda_{n,\alpha}(c)$ 和 $\mu_{n,\alpha}(c)$ 具有超指数衰减速率。此外，我们给出了这些特征值的下界衰减速率。正如将看到的，上述结果是分析基于有限汉克尔变换算子特征函数的谱逼近方案的基本工具。我们将提供一些数值算例以说明本文的结果。