加权有限拉普拉斯变换算子：谱分析及其特征函数的逼近质量

对于两个实数 $c>0, \alpha> -1,$ 我们研究了加权有限双边拉普拉斯变换算子的某些谱性质，该算子定义在空间 $E=L^2(I,\omega_{\alpha}),$ $I=[-1,1],$ $\omega_{\alpha}(x)=(1-x^2)^{\alpha},$ 上，其表达式为 ${\displaystyle \mathcal L_c^{\alpha} f(x)= \int_I e^{cxy} f(y) \omega_{\alpha}(y)\, dy}.$ 特别地，我们使用基于 Min-Max 定理的技术证明了该算子的特征值序列向零衰减具有超指数衰减率。此外，我们给出了算子 $\mathcal L_c^{\alpha}$ 最大特征值量级为 $e^c$ 的下界。同时，我们给出了 $\mathcal L_c^{\alpha}$ 的特征函数 $\varphi_{n,c}^{\alpha}$ 的一些局部估计和界限。而且，我们证明了这些特征函数是谱逼近可表示为另一个 $L^2(I,\omega_{\alpha})-$ 函数的加权有限拉普拉斯变换的函数的良好候选者。最后，我们给出了一些数值例子来说明本工作的不同结果。特别地，我们提供了一个说明基于拉普拉斯的谱方法用于有限拉普拉斯变换求逆的例子。