高阶非调和振子的谱性质

我们讨论了自伴算子$$-d^2/dt^2 + (t^{k+1}/(k+1)-\alpha)^2$$在$L^2(\mathbb{R})$中对于奇数整数$k$的谱性质。我们证明了该算子的基态能量关于$\alpha$的最小值在唯一一点达到，且该点当$k$趋于无穷时趋于零。此外，我们证明了该最小值是非退化的。这些问题自然出现在具有磁场的薛定谔算子的谱分析中。这扩展或澄清了Pan-Kwek、Helffer-Morame、Aramaki、Helffer-Kordyukov和Helffer的先前结果。