双曲面上特征值、谱 zeta 函数与 zeta 行列式的计算算法

我们提出了一种严格的方案,可在给定精度下计算双曲面上 Laplace 算子的特征值。该方法基于将特解方法(mothod of particular solutions)推广到局部对称空间的情形,并结合利用某些基函数逼近双曲面上特征函数的显式估计。该方法可用于判断在给定数 $\lambda>0$ 的 $\epsilon$-邻域内是否存在特征值,从而能够以给定精度并带有严格误差估计,找出指定区间内的所有特征值。该方法随所用基函数个数的增加呈指数级收敛。结合特征值知识与 Selberg 迹公式,我们还能够计算谱 zeta 函数的值与导数,并给出误差界。作为示例,我们计算了 Bolza 曲面及其他曲面的谱行列式与 Casimir 能量。