双曲三维流形上的谱界：结合性与迹公式

我们约束了三维闭双曲流形与轨道流形上 Laplace 算子的低能谱，包括函数上的标准 Laplace-Beltrami 算子以及余切丛幂上的 Laplacian。我们的方法采用线性规划技术，通过利用两类谱恒等式推导严格界限。第一类受共形 bootstrap 启发，源于 Laplace 特征截面乘积的谱分解的一致性，并涉及 Laplacian 谱以及特征截面三重积积分。我们用 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 的表示论语言表述这些条件，并用它们证明第一与第二 Laplacian 特征值的上界。第二类谱恒等式由 Selberg 迹公式得出。我们利用它们找到了双曲三维轨道流形上 Laplace-Beltrami 算子的谱隙上界，以及作为体积函数的双曲三维流形上 systole 长度的上界。进一步，我们证明所有闭双曲三维流形上 Laplace-Beltrami 算子的谱隙 $\lambda_1$ 满足 $\lambda_1 < 47.32$。在此过程中，我们利用迹公式估计了大量示例轨道流形的低能谱，并与我们的一般界限比较，发现这些界限在若干情形下近乎紧。