加权有限傅里叶变换算子：本征函数的一致逼近、特征值衰减及性态

在本文中，我们首先给出加权有限傅里叶变换算子的本征函数的两个一致渐近逼近，该算子定义为 ${\displaystyle \mathcal F_c^{(\alpha)} f(x)=\int_{-1}^1 e^{icxy} f(y)\,(1-y^2)^{\alpha}\, dy,\,}$ 其中 $c >0, \alpha > -1$ 是两个固定的实数。第一个一致逼近用Bessel函数给出，而第二个用归一化Jacobi多项式给出。这些本征函数被称为广义长球面波函数（GPSWFs）。利用GPSWFs的一致渐近逼近，我们证明了算子 $\mathcal F_c^{(\alpha)}$ 的特征值在 $0<\alpha < 3/2$ 情形下的超指数衰减率。最后，通过计算算子 ${\displaystyle \mathcal Q_c^{\alpha}=\frac{c}{2\pi} \mathcal F_c^{{\alpha}^*} \mathcal F_c^{\alpha},}$ 的迹以及一个范数估计，我们给出了当 $c>>1$ 时 $Q_c^{\alpha}$ 的特征值计数数的下界和上界。