离散长球波函数：进一步谱分析及相关应用

对固定的 $W\in \big(0,\frac{1}{2}\big)$ 和正整数 $N\geq 1$，离散长球波函数（DPSWF）记为 $U_{k,W}^N,$ $0\leq k\leq N-1$，构成定义在 $L^2(-1/2,1/2)$ 上、核为 $K_N(x,y)=\frac{\sin(N\pi(x-y))}{\sin(\pi(x-y))}\, \mathbf 1_{[-W,W]}(y)$ 的正有限秩积分算子 $\widetilde Q_{N,W}$ 的本征函数集合。众所周知，DPSWF 具有广泛的经典及近期信号处理应用。这些应用严重依赖于 DPSWF 的性质及其本征值 $\widetilde \lambda_{k,N}(W)$ 的行为。在开创性工作 \cite{Slepian} 中，D. Slepian 给出了 DPSWF 的性质、其渐近逼近以及这些本征值的渐近行为与渐近衰减率。在本工作中，我们给出 $\widetilde Q_{N,W}$ 算子的谱的进一步性质以及新的非渐近衰减率。特别地，我们证明每个本征值 $\widetilde \lambda_{k,N}(W)$ 在上界上至多相差一个小常数地由经典长球波函数（PSWF）的相应本征值界定。然后，基于已确立的关于 PSWF 本征值分布与衰减率的结果，我们将这些结果推广到本征值 $\widetilde \lambda_{k,N}(W)$。此外，我们表明 DPSWF 可用于经典带限函数的逼近，并且它们很适合周期 Sobolev 空间中函数的逼近。最后，我们提供一些数值例子以说明本工作的不同结果。