长球波函数与离散长球序列特征值的改进界

离散长球序列(DPSSs)是 $\ell_2(\mathbb{Z})$ 中的一组标准正交序列,其严格带限至频带 $[-W,W]$ 并在时间区间 $\{0,\ldots,N-1\}$ 内最大集中。时限 DPSSs(有时称为 Slepian 基)是 $\mathbb{C}^N$ 中的一组标准正交向量,其离散时间傅里叶变换(DTFT)在频带 $[-W,W]$ 内最大集中。由于这些性质,DPSSs 在信号处理中有广泛应用。DPSSs 是时限后带限算子的特征序列,Slepian 基向量是所谓长球矩阵的特征向量。两种情形的特征值相同,并表现出特定的聚集行为——略少于 $2NW$ 个特征值非常接近 $1$,略少于 $N-2NW$ 个特征值非常接近 $0$,极少特征值既不接近 $1$ 也不接近 $0$。该特征值行为在 DPSSs 的许多应用中至关重要。关于不接近 $0$ 或 $1$ 的特征值数量已有许多渐近刻画。相比之下,非渐近结果很少,且未能充分刻画 DPSS 特征值的聚集行为。本文建立了关于 $\epsilon$ 与 $1-\epsilon$ 之间 DPSS 特征值数量的两种新非渐近界。同时,我们得到了前 $\approx 2NW$ 个特征值接近 $1$ 的程度以及后 $\approx N-2NW$ 个特征值接近 $0$ 的程度的界。此外,我们将这些结果推广至长球波函数(PSWFs)的特征值,其为 DPSSs 的连续时间版本。最后,我们给出数值实验,展示了关于 $\epsilon$ 与 $1-\epsilon$ 之间 DPSS 特征值数量的非渐近界的质量。