长球面求积公式与插值公式的详细分析

正如 Slepian 等人在一系列经典论文中所论证的，长球面波函数 (PSWFs) 为计算定义在区间上的带限函数提供了一种自然且高效的工具。因此，PSWFs 在涉及此类函数的各个领域（例如物理学中的波动现象、流体动力学，工程学中的信号处理、滤波器设计等）正变得越来越流行。要将 PSWFs 用作计算工具，需要快速且准确的数值算法来评估 PSWFs 及相关量，以及构建求积公式、插值公式等。尽管在过去半个世纪中，此类算法的设计已取得实质性进展，但许多现有算法的复杂度至少在带限 $c$ 上是二次方的。例如，评估长球面积分算子的第 $n$ 个特征值至少需要 $O(c^2)$ 次运算。因此，虽然现有算法对于中等大小的 $c$（例如 $c \leq 10^3$）相当令人满意，但当 $c$ 很大时（例如 $c \geq 10^4$），它们往往相对较慢。在本文中，我们描述了几种用于评估 PSWFs 及相关量的数值算法，并设计了一类基于 PSWFs 的求积公式用于带限函数的积分。此外，我们对 PSWFs 的相关性质进行了详细分析。虽然分析过程 somewhat 复杂，但所得的数值算法在实践中相当简单且高效。例如，评估长球面积分算子的第 $n$ 个特征值需要 $O(n+c)$ 次运算；此外，构建相关的高精度求积规则需要 $O(c)$ 次运算。我们的结果通过若干数值实验进行了说明。