伪长球面函数

令 $D_{T}$ 和 $B_{\Omega }$ 分别表示截断 $T$ 之外的时间内容和 $\Omega$ 之外的频率内容的算子。长球面函数是算子 $P_{T,\Omega }=D_{T}B_{\Omega }D_{T}$ 的本征函数。为了以精确的数学术语表述奈奎斯特率的概念，Landau 和 Pollack 已证明，渐近地，本征值接近 1 的此类函数的数量约为 $\approx \frac{\left\vert T\right\vert \left\vert \Omega \right\vert }{2\pi }$。我们最近以一种新的方法重新审视了该问题：我们不计数本征值接近 1 的本征函数数量，而是计数具有 $\epsilon$-伪本征值 1 的正交 $\epsilon$-伪本征函数的最大数目。确切地说，我们计数有多少个正交函数在域 $T\times \Omega$ 之外具有最大能量 $\epsilon$，即满足 $\left\Vert P_{T,\Omega }f-f\right\Vert ^{2}\leq \epsilon$。我们最近发现精确的渐近数目为 $\approx (1-\epsilon )^{-1}\frac{\left\vert T\right\vert \left\vert \Omega \right\vert }{2\pi }$。证明涉及 $P_{T,\Omega }$ 的伪本征函数的显式构造。当 $T$ 和 $\Omega$ 为区间时，我们称它们为伪长球面函数。本文中我们解释它们是如何构造的。