带密度紧流形上 Laplacian 的特征值

本文研究了赋予测度 $\sigma dv_g$ 的紧连通光滑 Riemann 流形 $(M,g)$ 上加权 Laplacian（也称为 Bakry-Emery 或 Witten Laplacian）$L_\sigma$ 的谱。首先，我们获得了 $L_{\sigma}$ 第 $k$ 个特征值的上界，其与 Weyl 公式中 $k$ 的幂次一致。这些界依赖于密度 $\sigma$ 的积分范数；在文章的第二部分，我们给出了示例，表明这种依赖性在某种意义上是尖锐的。作为推论，我们得到了 Laplace 型算子（如 Schr"{o}dinger 算子或 $p-$形式上的 Hodge Laplacian）特征值的界。在球面上加权 Laplacian 的特殊情况下，我们得到了第一个非零特征值的尖锐不等式，推广了 Hersch 不等式。