带边界粗糙黎曼流形上加权拉普拉斯方程的特征值渐近性
微分几何
2025-03-26 v2 谱理论
摘要
我们的拓扑背景是一个维数大于或等于二且带有光滑边界的光滑紧流形。尽管这一底层拓扑结构是光滑的，黎曼度量张量仅被假定为有界且可测的。这被称为粗糙黎曼流形。对于一大类边界条件，我们证明了与粗糙度量相关联的拉普拉斯算子特征值渐近性的 Weyl 律。此外，我们获得了与粗糙度量相关联的加权拉普拉斯方程的特征值渐近性。尤其新颖的是，权函数不被假定为固定符号，因此特征值可能为正也可能为负。证明中的关键要素由 Birman 和 Solomjak 在近五十年前关于特征值渐近性的开创性工作中所给出。除了确定粗糙黎曼流形设定下加权拉普拉斯方程的特征值渐近性外，我们也希望宣扬他们的成就，其可能对现代问题有进一步应用。
引用
@article{arxiv.1811.08217,
title = {Eigenvalue asymptotics for weighted Laplace equations on rough Riemannian manifolds with boundary},
author = {Lashi Bandara and Medet Nursultanov and Julie Rowlett},
journal= {arXiv preprint arXiv:1811.08217},
year = {2025}
}