加权 $p$-拉普拉斯算子首特征值的尖锐下界

我们证明了紧致 Bakry-Emery 流形 $(M^n,g,f)$ 上加权 $p$-拉普拉斯算子（$1< p< \infty$）的首个非零特征值的尖锐下界估计，该流形满足 $\Ric+\nabla^2 f \geq \kappa \, g$，前提是 $1<p \leq 2$ 或 $\kappa \leq 0$。若流形有非空边界且我们假设其严格凸并对之施加 Neumann 边界条件，则相同结论成立。对 $1<p \leq 2$，我们通过连续性模估计方法给出简洁证明。对 $\kappa \leq 0$ 的证明基于特征函数的尖锐梯度比较定理及对底层一维模型方程的细致分析。我们的结果推广了 Valtorta\cite{Valtorta12} 与 Naber-Valtorta\cite{NV14} 关于 $p$-拉普拉斯算子（即 $f=\text{const}$）的工作，以及 Bakry-Qian\cite{BQ00} 关于 $f$-拉普拉斯算子（即 $p=2$）的工作。