多区间上 Hilbert 变换算子的谱性质

设 $J,E\subset\mathbb R$ 为两个内部不相交的多区间。考虑如下算子 $$A:\, L^2( J )\to L^2(E),\ (Af)(x) = \frac 1\pi\int_{ J } \frac {f(y)\text{d} y}{x-y},$$ 并令 $A^\dagger$ 为其伴随算子。我们引入一个作用于 $L^2(E)\oplus L^2(J)$ 的自伴算子 $\mathscr K$，其非对角块由 $A$ 和 $A^\dagger$ 组成。本文研究 $\mathscr K$ 以及算子 $A^\dagger A$ 和 $A A^\dagger$ 的谱性质。我们的主要工具是通过适当的 Riemann-Hilbert 问题得到 $\mathscr K$ 的预解（记为 $\mathscr R$），进而计算 $\mathscr R$ 在谱参数 $\lambda$ 下的跳跃与极点。我们证明 $\mathscr K$ 的谱具有绝对连续分支 $[0,1]$ 当且仅当 $J$ 与 $E$ 有公共端点，且其重数等于公共端点的个数。若无公共端点，则 $\mathscr K$ 的谱仅由特征值与 $0$ 组成。若有公共端点，则 $\mathscr K$ 可能有嵌入连续谱中的特征值，每个具有有限重数，且特征值只能在 $0$ 处聚积。在所有情形下，$\mathscr K$ 均无奇异连续谱。我们也得到了与 $\mathscr K$ 极为相似的 $A^\dagger A$ 和 $A A^\dagger$ 的谱性质。