谱集为 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1, 1)}$ 和 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$ 的 Hilbert 空间算子

若 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的一组 $7$ 元互易有界算子 $\mathbf{T} = (T_1, \dots, T_7)$ 满足 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1, 1)}$ 为其谱集，则称 $\mathbf{T}$ 为 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1, 1)}$-contraction。设 $(S_1, S_2, S_3)$ 与 $(\tilde{S}_1, \tilde{S}_2)$ 为定义在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的互易有界算子组，满足 $S_i\tilde{S}_j = \tilde{S}_jS_i$ 对所有 $1 \leqslant i \leqslant 3, 1 \leqslant j \leqslant 2$ 成立。若 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$ 为 $\mathbf{S} = (S_1, S_2, S_3, \tilde{S}_1, \tilde{S}_2)$ 的谱集，则称 $\mathbf{S}$ 为 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$-contraction。我们推导了 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1, 1)}$-contraction 与 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$-contraction 的各类性质，并建立了它们之间的关系。我们讨论了 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1,1 )}$-contraction 与 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$-contraction 的基本方程。我们探讨了 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1, 1)}$-unitaries 与 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$-unitaries 的结构，并阐述了它们之间的关系。我们还研究了 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1, 1)}$-isometries 与 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$-isometries 的各类性质。我们讨论了 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1, 1)}$-isometry 与 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$-isometry 的 Wold 分解。我们进一步概述了纯 $\Gamma_{E(3; 3; 1, 1, 1)}$-isometry 与纯 $\Gamma_{E(3; 2; 1, 2)}$-isometry 的结构定理。