与 μ-综合相关的两个域上算子的结构定理

定义在希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的 n 元交换算子组 $(S_1, \dots, S_{n-1}, P)$，若其闭对称多圆盘 $$\Gamma_n = \left\{ \left(\sum_{i=1}^{n}z_i, \sum\limits_{1\leq i<j\leq n}z_iz_j, \dots, \prod_{i=1}^{n}z_i \right) : |z_i|\leq 1, i=1, \dots, n \right\}$$ 是谱集，则称为 $\Gamma_n$-压缩。此外，三元交换算子组 $(A,B,P)$ 若其闭四面体块 $\overline{\mathbb E}$ 是谱集，则称为 $\mathbb E$-压缩，其中 $$\mathbb E = \{ (x_1,x_2,x_3)\in\mathbb C^3\,:\, 1-zx_1-wx_2+zwx_3 \neq 0 \quad \forall z, w \in \overline{\mathbb D} \}.$$ 文献中已有 Sz. Nagy、Foias、Levan、Kubrusly、Foguel 等人给出的若干关于压缩算子的分解定理，揭示了压缩的结构信息。在本文中，我们获得了这六个主要定理对于 $\Gamma_n$-压缩与 $\mathbb E$-压缩的类似结果。在每一个此类分解定理中，底层希尔伯特空间容许由最后一个分量 $P$ 给出的唯一正交分解。确定 $\Gamma_n$-压缩或 $\mathbb E$-压缩结构的核心作用由某些算子铅笔的正定性以及与 $\Gamma_n$-压缩或 $\mathbb E$-压缩相关联的唯一算子组的存在性所扮演。