纯 $\Gamma$-收缩的函数模型

定义在希尔伯特空间 $\mathcal H$ 上的一对交换算子 $(S,P)$，若其闭对称双圆盘 $$\Gamma= \{(z_1+z_2,z_1z_2):: |z_1|\leq 1,\, |z_2|\leq 1 \}\subseteq \mathbb C^2$$ 是一个谱集，则文献中称之为 $\Gamma$-收缩。若 $P$ 是纯收缩，即 ${P^*}^n \rightarrow 0$ 强收敛（当 $n \rightarrow \infty$），则称 $\Gamma$-收缩 $(S,P)$ 是纯的。本文为纯 $\Gamma$-收缩构造了一个函数模型，并给出了一个完全酉不变量。这些构造的关键是一个算子，它是算子方程 $$S-S^*P=D_PXD_P, \textup{其中} X\in \mathcal B(\mathcal D_P)$$ 的唯一解，称为 $\Gamma$-收缩 $(S,P)$ 的基本算子。我们还讨论了基本算子的一些重要性质。