$n$-拟左$m$-可逆及相关算子类的结构

给定Hilbert空间算子$T, S\in\B$，令$\triangle$与$\delta\in B(\B)$表示初等算子$\triangle_{T,S}(X)=(L_TR_S-I)(X)=TXS-X$与$\delta_{T,S}(X)=(L_T-R_S)(X)=TX-XS$。令$d=\triangle$或$\delta$。假设$T$与$S^*$交换，并取$X$为某正整数$n$的正算子$S^{*n}S^n$，本文利用初等算子的性质研究$n$-拟$[m,d]$-算子$d^m_{T,S}(X)=0$的结构，以汇集并改进若干算子类的已有结果，其中包括$n$-拟左$m$-可逆算子、$n$-拟$m$-等距算子、$n$-拟$m$-自伴算子以及$n$-拟$(m,C)$对称算子(对\H的某共轭$C$)。证明了$S^n$是一个幂零算子的扰动与满足$d^m_{T_1,S_1}(I_1)=0$的算子$S_1^n=(S|_{\overline{S^n(\H)}})^n$ ($T_1=T|_{\overline{S^n(\H)}}$)的直和，再加上$0$算子；若进一步$S$左可逆，则$S^n$相似于满足$d^m_{B^*,B}(I)=0$的算子$B$。对于幂有界$S$与$T$，满足$ST^*-T^*S=0$且$\triangle_{T,S}(S^{*n}S^n)=0$，则$S$是polaroid的(即谱的孤立点是极点)。在给定交换性条件下，满足$d^m_{T,S}(I)=0$的算子$T, S$的乘积性质及被交换幂零算子扰动的性质，可转移到满足$S^{*n}d^m_{T,S}(I)S^n=0$的算子。