半希尔伯特空间中高阶等对称的一些结果

本文引入了 $(A,(m,n))$-等对称算子类，并研究了其一些性质，其中 $A$ 为半正定算子且 $m,n\in\mathbb{N}$；通过用 $A$ 诱导的半内积替换初始内积，该类推广了 Mark Stankus 引入的著名 $(m,n)$-等对称算子类（\cite{mark1}, \cite{mark}）。特别地，我们刻画了一族 $A$-等对称的 $(2\times2)$ 上三角算子矩阵。此外，我们证明若 $T$ 是 $(A,(m,n))$-等对称的，且 $Q$ 是与 $T$ 双重交换的 $r$ 阶幂零算子，则对任意 $p\in \mathbb{N}$，$T^p$ 是 $(A,(m,n))$-等对称的，且 $(T +Q)$ 是 $\big(A,(m+2r -2, n+2r -1)\big)$-等对称的。我们还研究了谱的一些性质。