关于键维 $D=4$ 的可积矩阵乘积算符

我们构造并研究了一个键维为 $D=4$ 的双参数矩阵乘积算符族。算符 $M(x,y)$ 作用于 $({\mathbb C}_2)^{\otimes N}$，即长度为 $N$ 的自旋 -$1/2$ 链的状态空间。对于特定的参数值：$x=1/3$ 和 $y=1/\sqrt{3}$，该算符被证明正比于六角梯子上价键固态（valence-bond-solid state）的约化密度矩阵的平方根。我们表明，当 $(x,y)$ 位于以原点为中心的单位圆上，即 $x^2 + y^2=1$ 时，$M(x,y)$ 具有几个有趣的性质。在这种情况下，我们发现 $M(x,y)$ 与各向同性自旋 -$1/2$ 海森堡链的哈密顿量及所有守恒荷对易。此外，若对于 $i=1$ 和 $2$ 均有 $x^2_i + y^2_i=1$，则 $M(x_1,y_1)$ 与 $M(x_2,y_2)$ 相互对易。$M(x,y)$ 的这些显著性质被证明是杨 - 巴克斯特方程（Yang-Baxter equation）的结果。