幂零算子不变子空间：水平、均值与 Colevel——三角形 $\mathbb T(n)$

我们考察范数 $n$ 的所有幂零算子对的范畴 $\mathcal S(n)$，其中 $V$ 为有限维向量空间，拥有幂零算子 $T$ 且 $T^n=0$，而 $U$ 为子空间且 $T(U)\subseteq U$。我们关注对象 $X=(U,V)$ 的三个数值：$uX=\dim U$（子空间），$wX=\dim V/U$（商空间）以及 $bX=\dim {\rm Ker} T$（算子）。实际上，取代参考空间 $\mathbb R^3$ 中的三元组 $(uX,wX,bX)$，我们关注对应的射影空间 $\mathbb T(n)$，其中对非零对象 $X$ 包含支撑其的等级-Colevel 配对 ${\bf pr}$X = (uX/bX,wX/bX)。我们利用 $\mathbb T(n)$ 可视化 $\mathcal S(n)$ 的范畴结构：对偶性 $D$ 和阿斯鲁纳-赖特翻译的平方 $\tau_n^2$ 在 $\mathbb T(n)$ 上分别表示为反射和 $120^\circ$ 旋转。此外，对于 $n\geq 6$，每个阿斯鲁纳-赖特图的连分量的支撑要么完全包含在 $\mathbb T(n)$ 中心，要么中心是唯一的聚集点。我们证明，唯一在支撑边界距离小于 1 的不可约对象是 $bX=1$ 且位于边界的对象，而任何在 $\mathbb T(n)$ 中边界距离至少为 2 的有理向量支撑无数不可约对象。目前尚不清楚边界距离在 1 与 2 之间的向量会发生什么。$\mathbb T(n)$ 的使用即便在（相对较为熟悉的）$n=6$ 情况下也能带来一些意外：特别是，我们将展示 $\mathcal S(6)$ 中的任何不可约对象都位于 $\mathbb T(6)$ 中 12 条中心线之一上。本文自包含，所需所有先决条件均在详细阐述中概述。