上三角Toeplitz矩阵与拟幂零算子的实部

我们证明，每个迹为零的自伴矩阵$B$可以表示为$B=T+T^*$，其中$T$是幂零矩阵，且$T$的范数不超过$K$乘以$B$的范数，常数$K$与矩阵大小无关。特别地，如果$D$是迹为零的对角自伴$n\times n$矩阵，则存在酉矩阵$V=XU_n$，其中$X$是$n\times n$置换矩阵，$U_n$是$n\times n$傅里叶矩阵，使得$D$的共轭$V^*DV$的上三角部分$T$的范数不超过$K$乘以$D$的范数。该矩阵$T$是严格上三角Toeplitz矩阵，且满足$T+T^*=V^*DV$。我们应用这一结果及相关结果，对有限von Neumann代数中拟幂零元素的实部问题给出了部分回答。