关于与准 Toeplitz 矩阵相关的某些矩阵代数

设 $A_\alpha$ 为半无限三对角矩阵，副对角线和超对角线上的元素为单位元，$(A_\alpha)_{11}=\alpha$，其中 $\alpha\in\mathbb C$，其余元素为零。确定由 $A_\alpha$ 的幂张成的线性空间 $\mathcal P_\alpha$ 的一个基 $\{P_0,P_1,P_2,\ldots\}$，其中 $P_0=I$，$P_n=T_n+H_n$，$T_n$ 为对称 Toeplitz 矩阵，其第 n 个副对角线和超对角线上的元素为 1，其余为零，$H_n$ 为 Hankel 矩阵，其首行为空 $[\theta\alpha^{n-2}, \theta\alpha^{n-3}, \ldots, \theta, \alpha, 0, \ldots]$，其中 $\theta=\alpha^2-1$。集合 $\mathcal P_\alpha$ 是一个代数，当 $\alpha\in\{-1,0,1\}$ 时，$H_n$ 仅有一个非零反对角线。这一事实被用来提供对称准 Toeplitz 矩阵 $\mathcal {QT}_S$ 的更好表示。具体而言，与其将一般矩阵 $A\in\mathcal{QT}_S$ 表示为 $A=T+K$（其中 $T$ 为 Toeplitz，$K$ 为紧算子），不如表示为 $A=P+H$（其中 $P\in\mathcal P_\alpha$，$H$ 为紧算子）。我们通过实验表明，这种方式得到的矩阵算术在 CQT-Toolbox（Numer. Algo. 81(2):741--769, 2019）中实现的算术要有效得多。