半无限拟Toeplitz矩阵的指数

令 $a(z)=\sum_{i\in\mathbb Z}a_iz^i$ 为定义在 $|z|=1$ 上的复值函数，满足 $\sum_{i\in\mathbb Z}|ia_i|<\infty$，并令 $E=(e_{i,j})_{i,j\in\mathbb {Z}^+}$ 满足 $\sum_{i,j\in\mathbb{Z}^+}|e_{i,j}|<\infty$。半无限拟Toeplitz矩阵是形如 $A=T(a)+E$ 的矩阵，其中 $T(a)=(t_{i,j})_{i,j\in\mathbb{Z}^+}$ 是与符号 $a(z)$ 关联的半无限Toeplitz矩阵，即对于 $i,j\in\mathbb Z^+$ 有 $t_{i,j}=a_{j-i}$。我们分析 $A$ 的指数的理论与计算性质。更具体地，证明了 $\exp(A)=T(\exp(a))+F$，其中 $F=(f_{i,j})_{i,j\in\mathbb{Z}^+}$ 满足 $\sum_{i,j\in\mathbb{Z}^+}|f_{i,j}|$ 有限，即 $\exp(A)$ 也是一个半无限拟Toeplitz矩阵，并给出了其计算的有效算法。这些结果可从函数 $\exp(z)$ 推广到任何满足温和条件的函数 $f(z)$，并可应用于有限拟Toeplitz矩阵。