关于幂 Drazin 正规与 Drazin 拟正规 Hilbert 空间算子

一个 Drazin 可逆 Hilbert 空间算子 $T\in \B$，其 Drazin 逆为 $T_d$，若 $[T_d^n,T^{*m}]=T^n_dT^{*m}-T^{*m}T_d^n=0$，则称其为 $(n,m)$-幂 D-正规算子，即 $T\in [(n,m) DN]$；若 $[T_d^n,T^{*m}T]=0$，则称其为 $(n,m)$-幂 D-拟正规算子，即 $T\in [(n,m) DQN]$。算子 $T\in [(n,m) DN]$ 具有表示 $T=T_1\oplus T_0$，其中 $T_1$ 相似于一个可逆正规算子，$T_0$ 为幂零算子。利用该表示，我们更深入地考察了 $[(n,m) DN]$ 与 $[(n,m) DQN]$ 算子的结构。可见 $T\in [(n,m) DN]$ 当且仅当 $T\in [(n,m) DQN]$；且若对某个算子 $X\in\B$ 有 $[T,X]=0$ 且 $T\in [(1,1) DN]$，则 $[T^*_d,X]=0$。给定单极算子 $S, T\in [(1,1) DN]$ 及算子 $A=\left(\begin{array}{clcr} T&C 0&S \end{array}\right) \in B(\H\oplus\H)$，则 $A\in [(1,1) DN]$ 当且仅当 $C$ 具有表示 $C=0\oplus C_{22}$。