关于拟幂零算子的幂集

对于可分 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的拟幂零算子 $T$，Douglas 与 Yang 对每个非零向量 $x$ 定义 $k_x=\limsup\limits_{\lambda\rightarrow 0}\frac{\ln\|(\lambda-T)^{-1}x\|}{\ln\|(\lambda-T)^{-1}\|}$，并称 $\Lambda(T)=\{k_x:x\ne 0\}$ 为 $T$ 的幂集。本文证明 $\Lambda(T)$ 是右闭的，即对于 $\Lambda(T)$ 的每个非空子集 $\sigma$，有 $\sup \sigma\in\Lambda(T)$。此外，对于 $[0,1]$ 中包含 $1$ 的任意右闭子集 $\sigma$，我们证明存在拟幂零算子 $T$ 使得 $\Lambda(T)=\sigma$。最后，我们证明 $L^2[0,1]$ 上 Volterra 算子 $V$ 的幂集为 $(0,1]$。