一类对称半有界算子的函数模型

设 $L_0$ 为可分 Hilbert 空间 ${\mathscr H}$ 中具非零亏指数 $n_\pm(L_0)$ 的闭对称正定算子。它确定一族动力系统 $\alpha^T$, $T>0$，形如 \begin{align*} & u"(t)+L_0^*u(t) = 0 && {\rm in}\,\,\,{{\mathscr H}}, \,\,\,0<t<T,\\ & u(0)=u'(0)=0 && {\rm in}\,\,\,{{\mathscr H}},\\ & \Gamma_1 u(t) = f(t), &&0\leqslant t \leqslant T, \end{align*} 其中 $\{{\mathscr H};\Gamma_1,\Gamma_2\}$ ($\Gamma_{1,2}:{\mathscr H}\to{\rm Ker\,} L_0^*$) 是 $L_0$ 的典范 (Vishik) 边界三元组，$f$ 为边界控制（取值于 ${\rm Ker\,} L_0^*$ 的 $t$ 的函数），$u=u^f(t)$ 为解（轨迹）。设 $L_0$ 完全非自伴且 $n_\pm(L_0)=1$，从而 $f(t)=\phi(t)e$，其中标量函数 $\phi\in {L_2(0,T)}$ 且 $e\in{\rm Ker\,} L_0^*$。设映射 $W^T: \phi\mapsto u^f(T)$ 满足 $C^T=(W^T)^*W^T=\mathbb I+K^T$，其中 $K^T$ 为 ${L_2(0,T)}$ 中具有光滑核的积分算子。假设对所有 $T>0$，$C^T$ 为 ${L_2(0,T)}$ 中的同构。我们表明在此假设下，算子 $L_0$ 酉等价于 ${L_2(0,\infty)}$ 中具光滑实值势 $q$ 的极小 Schrödinger 算子 $S_0=-D^2+q$，且该算子在无穷远处属极限点情形。并证明 $S_0$ 提供了 $L_0$ 的典范波模型。