椭圆算子分数幂的数值逼近

我们提出并研究了一种新的数值算法，用于逼近 $T^\beta:=L^{-\beta}$ 的作用，其中 $L$ 是 Hilbert 空间 $H_0$ 上的对称正定无界算子。该数值方法基于 $T^{-\beta}$ 的积分表示公式，该公式涉及关于 $(I+t^2L)^{-1}$ 的 Bochner 积分，其中 $t\in(0,\infty)$。为了发展 $T^\beta$ 的逼近，我们引入 $L$ 的有限元逼近 $L_h$，并基于 $T_h^\beta:= L_h^{-\beta}$ 构建 $T^\beta$ 的逼近。直接计算 $T_h^{\beta}$ 极其昂贵，因为它涉及在 $L_h$ 的特征函数基下的展开。上述积分表示公式对 $T_h^{-\beta}$ 同样成立，我们提出了三种统称为 $Q_h^\beta$ 的求积逼近。本文的两个主要结果界定了 $T^\beta-T_h^\beta\pi_h$ 和 $T_h^\beta-Q_h^\beta$ 在 $H_0$ 内积中的误差，其中 $\pi_h$ 是到有限元空间的 $H_0$ 正交投影。我们注意到，$Q_h^\beta$ 的计算涉及 $(I+(t_i)^2L_h)^{-1}$ 的应用，其中 $t_i$ 为求积点或其倒数。这些问题已有高效求解算法，且不同求积点处的问题可直接并行求解。文中提供了数值实验以说明理论估计，涵盖了求积误差 $T_h^\beta-Q_h^\beta$ 和有限元误差 $T^\beta-T_h^\beta\pi_h$。