时空分数阶抛物方程的数值逼近

在本文中，我们为时空分数阶抛物方程（即包含分数阶时间导数和分数阶空间算子的方程）开发了一种数值格式。同时考虑了初值问题和非齐次强迫问题（具有零初始数据）。初值问题的解算子$E(t)$可以写成一个Dunford-Taylor积分，涉及Mittag-Leffler函数$e_{\alpha,1}$以及底层（非分数阶）空间算子在复平面中适当积分路径上的预解式。这里$\alpha$表示分数阶时间导数的阶数。非齐次问题的解可以写成涉及算子$W(t)$和强迫函数$F(t)$的卷积。我们基于底层（非分数阶）空间算子的有限元逼近，通过应用于离散算子的类似Dunford-Taylor积分，开发并分析了半离散方法。空间误差达到最优阶，直至$1/h$的对数项。初值问题的全离散方法由半离散逼近发展而来，通过应用指数收敛的sinc求积技术来近似离散算子的Dunford-Taylor积分，并且没有任何时间步进。为了近似半离散逼近中非齐次问题出现的卷积，我们应用了伪中点求积。这涉及$W_h(s)$（即$W(s)$的半离散逼近）在求积区间上的平均值。该平均值也可以写成一个Dunford-Taylor积分。我们首先分析了该求积与半离散逼近之间的误差。为了开发全离散方法，我们随后引入sinc求积逼近来计算平均值的Dunford-Taylor积分。