具有空间白噪声的分数阶椭圆随机偏微分方程的数值求解

本文考虑对 $\mathbb{R}^d$ 中有界域上具有加性空间白噪声的随机偏微分方程的解进行数值近似。微分算子由整数阶椭圆微分算子 $L$ 的分数次幂 $L^\beta$ ($\beta\in(0,1)$) 给出，因此是非局部的。其逆算子 $L^{-\beta}$ 由 Dunford-Taylor 泛函演算的 Bochner 积分表示。通过对该积分表示应用求积公式，逆分数次幂算子 $L^{-\beta}$ 被近似为在某些求积节点 $t_j>0$ 处的非分数阶预解式 $(I + t_j^2 L)^{-1}$ 的加权和。然后通过标准有限元方法对预解式进行空间离散。该方法与仅基于有限元离散质量矩阵的白噪声近似相结合。由此，得到了一种计算近似解样本的高效数值算法。对于所得的近似，分析了强均方误差并导出了显式的收敛速率。对于 $L=\kappa^2-\Delta$ ($\kappa > 0$) 且在 $d=1,2,3$ 维空间中的单位立方体 $(0,1)^d$ 上具有齐次 Dirichlet 边界条件的情况，针对不同 $\beta\in(0,1)$ 的数值实验验证了理论结果。