分数椭圆问题的有限元与盒方法离散化：数值积分与质量分散

我们分析分数椭圆问题 $L^{\beta}u=f$，$\beta>0$，其中 $L$ 为具有齐次Dirichlet或Neumann边界条件的二阶自伴椭圆算子。该文发展了一种统一的符合规范的分段线性框架，涵盖分数幂的标准有限元离散化和盒方法离散化。关键点在于，离散分数算子是相对于试用空间的一个可接受内积定义的。这包括标准 $L^{2}$ 内积和基于数值积分的质量分散内积，以及我们还识别出更广泛的可接受内积族，这些内积在两种实现之间进行插值。在此框架下，我们表明，质量分散的选择产生的是内在分数盒离散化，即对非分数盒解算子取分数幂得到的离散化。对于有限元和盒方法两种实现，我们在自然一致性假设下建立误差估计，明确地说明了负载数值积分在盒方法中的作用。该分析直接适用于实际方案，并在一维和二维中的数值实验得到支持。