椭圆算子分数次幂的数值逼近

在本文中，我们开发并研究了用于近似求解线性代数系统 $\mathcal{A}_h^\alpha u_h = f_h$（$0< \alpha <1$，$u_h, f_h \in V_h$，其中 $V_h$ 为有限元逼近空间）的算法。此类问题源于问题 $\mathcal{A}^\alpha u=f$ 的有限元或有限差分逼近，例如其中 $\mathcal{A}$ 来自具有齐次边界条件的二阶椭圆算子。这些算法的动机源自 Vabishchevich (2015) 的近期方法，该方法将该代数问题与区间 $[0,1]$ 上的时间相关初值问题的解联系起来。在此，我们基于对 $(1+x)^{-\alpha}$ 的对角 Padé 逼近，开发并研究了两种时间步进格式。第一种使用几何分级网格，以补偿 $t$ 接近 $0$ 时解的奇异行为。第二种算法使用均匀时间步进，但要求数据 $f_h$ 在离散范数下具有光滑性。对于这两种方法，我们均以时间步数的函数估计了误差，其中 $f_h$ 的正则性在第二种方法中起主要作用。最后，我们针对源于一维和二维空间中二阶椭圆边值问题有限元逼近的 $\mathcal{A}_h$ 给出了数值实验。