基于最佳一致有理逼近的谱分数阶椭圆方程数值方法分析

本文从理论上研究并实验比较了一种求解代数方程组的高效方法，其中矩阵来自分数阶扩散算子的离散化。更具体地，我们关注由 $\mathbb R^d$（$d=1,2,3$）中二阶椭圆问题的有限差分或有限元逼近所获得的矩阵。所提方法基于 $t^{\alpha}$ 在 $[0,1]$ 上的最佳一致有理逼近（BURA）$r_{\alpha,k}(t)$。此处 $r_{\alpha,k}$ 是 $t$ 的有理函数，其分子与分母多项式次数至多为 $k$。我们证明所提方法关于 $k$ 是指数收敛的，并具有一些吸引人的性质。首先，它将非局部系统的求解化为求解 $k$ 个具有矩阵 $(A +c_j I)$ 且 $c_j>0$，$j=1,2,\ldots,k$ 的系统。因此，若对此类系统有快速求解器可用，则可获得良好的计算复杂度。其次，在原问题及有限差分情形下的有理逼近是保正的。在有限元情形，当采用质量集中且网格满足某些温和条件时，保正性成立。进一步，我们证明在质量集中情形下，该格式仍导致预期的收敛阶，有时需假设右端项具有额外的正则性。最后，我们针对一维和二维空间下不同 $\alpha$ 的若干模型问题给出了全面的数值实验。这些实验说明了所提方法的计算表现，并将其精度与效率同 Harizanov 等人及 Bonito 与 Pasciak 所发展的其他方法进行了比较。