带线源椭圆方程的分裂方法

在本文中，我们研究在(3D)区域 $\Omega$ 中提出的、当右端项为(1D)线源 $\Lambda$ 时的椭圆问题的数学结构与数值逼近。这类问题的分析与逼近已知是非标准的，因为线源导致解具有奇异性。我们的主要结果是一个解的分裂定理；我们证明解可分裂为一个显式的、捕捉奇异性的低正则性项，以及一个高正则性修正项 $w$，其为某个合适椭圆方程的解。该分裂定理阐明了解的数学结构；特别地，我们发现解具有各向异性正则性。更确切地说，解在 $\Lambda$ 的邻域内不属于 $H^1$，但平行于 $\Lambda$ 表现出分段 $H^2$ 正则性。该分裂定理可进一步用于构造一种数值方法，其中解通过其修正函数 $w$ 来逼近。该方法有几个优点。首先，它将问题重塑为一个右端项属于 $L^2$ 的3D椭圆问题，这类问题的离散化与求解器已 readily available。其次，它使数值逼近独立于 $\Lambda$ 的离散化；第三，它改善了数值方法的逼近性质。我们在此考虑 Galerkin 有限元方法，并证明奇异性减去法随后在一致网格上恢复最优收敛速率，即无需围绕每条线段加密网格。因此，本文提出的数值方法非常适用于涉及大量线段的应用。我们通过处理一个描述脑部血管系统的数据集（由约 $3000$ 条线段组成）来说明这一点。