正则增生算子分数幂的数值逼近

本文研究增生算子分数幂的数值逼近。即，如果 $A$ 是与定义在包含于 $L^2(\Omega)$ 的 Hilbert 空间 $\mathbb V$ 上的增生半双线性形式 $A(\cdot,\cdot)$ 相关联的增生算子，我们逼近 $\beta\in (0,1)$ 时的 $A^{-\beta}$。分数幂通过所谓的 Balakrishnan 积分公式定义。给定有限元逼近空间 $\mathbb V_h\subset \mathbb V$，$A^{-\beta}$ 由 $A_h^{-\beta}\pi_h$ 逼近，其中 $A_h$ 是与限制在 $\mathbb V_h$ 上的形式 $A(\cdot,\cdot)$ 相关联的算子，$\pi_h$ 是到 $\mathbb V_h$ 上的 $L^2(\Omega)$-投影。我们首先针对适当的 $f$，给出 Sobolev 范数指标在 [0,1] 时的 $(A^\beta-A_h^{\beta}\pi_h)f$ 的误差估计。这些结果依赖于涉及形式 $A(\cdot,\cdot)$ 的变分解的椭圆正则性性质，并且在椭圆正则性不完全的情况下依然成立。我们还构造并分析了一种指数收敛的 sinc 求积逼近，用于定义 $A_h^{\beta}\pi_h f$ 的 Balakrishnan 积分。最后，给出了说明所提方法的数值计算结果。