紧致度量图上分数阶椭圆微分方程的 regularity 与数值逼近

本文考虑定义在紧致度量图上的分数阶微分方程 $L^\beta u = f$，其中 $\beta>0$，$L = \kappa^2 - \nabla(a\nabla)$ 是配备特定顶点条件且系数 $\kappa, a$ 充分光滑为正的二阶椭圆算子。我们证明了一类一般顶点条件下解的存在唯一性，并在 Kirchhoff 顶点条件的特定情形下推导了解的正则性。当 $f$ 被高斯白噪声替代时，这些结果被推广到随机情形。对于广义 Kirchhoff 顶点条件下的确定性与随机性情形，我们提出一种基于有限元逼近并结合分数幂 $L^{-\beta}$ 的有理逼近的数值解法。对于所得逼近，在确定性情形下分析了强误差，在随机情形下分析了强均方误差以及解协方差函数的 $L_2(\Gamma\times \Gamma)$-误差。所有情形均推导出了显式收敛速率。针对 ${L = \kappa^2 - \Delta, \kappa>0}$ 进行了数值实验以阐明结果。