小波级联逼近算子的几何方法

本文致力于 Hilbert 空间中算子的一个逼近问题，该问题出现在人们试图从几何角度研究小波理论中的级联算法时。设 $H$ 为 Hilbert 空间，$\pi$ 为 $L^\infty(T)$ 在 $H$ 上的表示。设 $R$ 为 $L^\infty(T)$ 中的正算子，满足 $R(1)=1$，其中 $1$ 表示常值函数 $1$。我们研究 $H$ 上的算子 $M$（有界但非压缩），使得 $\pi(f)M=M\pi(f(z^2))$ 且 $M^* \pi(f)M=\pi(R^* f)$，$f \in L^\infty (T)$，其中 $*$ 指 Hilbert 空间伴随。我们给出 $H$ 的一个完全正交分解，使 $\pi$ 约化，从而 $M$ 在部分上起移位作用，剩余部分为 $H^{(\infty)}=\bigcap_n[M^n H]$，其中 $[M^n H]$ 为 $M^n$ 值域的闭包。我们证明，移位部分存在当且仅当 $\ker(M^*) \neq \{0\}$。我们将算子理论结果应用于小波理论中的细分算子（或称级联算法）。利用表示 $\pi$，我们证明对于此小波算子 $M$，分解中的分量酉且典范等价于空间 $L^2(E_n) \subset L^2(R)$，其中 $E_n \subset R$，$n=0,1,2,...,\infty$，为可测子集且构成 $R$ 的铺砌；即其并集在零测度意义下为 $R$，且不同 $E_n$ 的两两交集测度为零。我们证明了关于级联算法收敛性的两个结果，并识别出该算法起点的奇异向量。