具有奇异系数的 Sturm-Liouville 算子的 Povzner-Wienholtz 型定理

我们在复 Hilbert 空间 $L^2(\mathbb{R})$ 中引入并研究由形式微分表达式 $$l[u] :=-(pu')'+qu + i((ru)'+ru')$$ 关联的对称算子 $L_0$,对系数的正则性要求极小。假设它们满足条件 $$q=Q'+s;\quad \frac{1}{\sqrt{|p|}}, \frac{Q}{\sqrt{|p|}}, \frac{r}{\sqrt{|p|}} \in L^2_{loc}\left(\mathbb{R}\right), \quad s \in L^1_{loc}\left(\mathbb{R}\right), \quad\frac{1}{p}\neq 0\,\,\text{a.e.,}$$ 其中函数 $Q$ 的导数在分布意义下理解,且所有函数 $p$、$Q$、$r$、$s$ 均为实值。特别地,系数 $q$ 和 $r'$ 可以是 $\mathbb{R}$ 上的 Radon 测度,而函数 $p$ 可以是不连续的。本文的主要结果是关于系数 $p$ 的构造性充分条件,其保证算子 $L_0$ 的半有界性蕴含其自伴性。