对称微分算子的幂 I

令 $L$ 为定义在 $L^{2}\left( \mathbb{R}\right)$ 上的线性对称微分算子，其定义域为 Schwartz 检验函数空间 $\mathcal{S}$。本文大部分假设 $L$ 的系数为 $\mathbb{R}$ 上的多项式函数。我们将给出 $L$ 的多项式系数的准则，保证 $L$ 是本质自伴的，对某些 $C<\infty$ 有 $\bar{L}\geq-CI$，且对所有 $r\geq0$，$\mathcal{S}$ 是 $\left( \bar{L}+C\right) ^{r}$ 的一个核。给定另一个多项式系数微分算子 $\tilde{L}$，我们将进一步给出 $L$ 与 $\tilde{L}$ 系数的准则，推出算子比较不等式 $\left( \overline {\tilde{L}}+\tilde{C}\right) ^{r}\leq C_{r}\left( \bar{L}+C\right) ^{r}$ 对所有 $0\leq r<\infty$ 成立。最后一个不等式推广到允许系数中添加一个参数 $\hbar>0$，被用于提供一大类算子，满足我们另一篇论文“论量子力学的经典极限”（即将提交）中的假设，该论文证明了量子力学经典极限的一种强形式成立。