与 Schrödinger 算子相关的奇异积分交换子的端点估计

设 $L= -\Delta+ V$ 为 $\mathbb R^d$ ($d\geq 3$) 上的 Schrödinger 算子，其中 $V$ 是非负位势，$V\ne 0$，且属于逆 Hölder 类 $RH_{d/2}$。本文研究一类 $\mathcal K_L$ 中亚线性算子 $T$ 的交换子 $[b,T]$，该类包含与 $L$ 相关的调和分析中的基本算子。更确切地说，当 $T\in \mathcal K_L$ 时，我们证明存在一个有界次双线性算子 $\mathfrak R= \mathfrak R_T: H^1_L(\mathbb R^d)\times BMO(\mathbb R^d)\to L^1(\mathbb R^d)$，使得 $|T(\mathfrak S(f,b))|- \mathfrak R(f,b)\leq |[b,T](f)|\leq \mathfrak R(f,b) + |T(\mathfrak S(f,b))|$，其中 $\mathfrak S$ 是一个从 $H^1_L(\mathbb R^d)\times BMO(\mathbb R^d)$ 到 $L^1(\mathbb R^d)$ 的有界双线性算子，且不依赖于 $T$。此次双线性分解解释了为什么与基本算子相关的交换子是弱 $(H^1_L,L^1)$ 型的，以及一个交换子 $[b,T]$ 何时是强 $(H^1_L,L^1)$ 型的。此外，我们还讨论了与 Schrödinger 算子 $L$ 相关联的 Riesz 变换的交换子的 $H^1_L$-估计。