Calderón-Zygmund算子交换子的加权端点估计

令 $\delta\in(0,1]$ 且 $T$ 为 $\delta$-Calderón-Zygmund算子。设 $w$ 属于 Muckenhoupt 类 $A_{1+\delta/n}({\mathbb R}^n)$ 且满足 $\int_{{\mathbb R}^n}\frac {w(x)}{1+|x|^n}\,dx<\infty$。当 $b\in{\rm BMO}(\mathbb R^n)$ 时，众所周知若 $b$ 非常数函数，交换子 $[b, T]$ 不从 $H^1(\mathbb R^n)$ 到 $L^1(\mathbb R^n)$ 有界。本文中，作者找出了 ${\rm BMO}(\mathbb R^n)$ 的一个适当子空间 ${\mathop\mathcal{BMO}_w({\mathbb R}^n)}$ 使得若 $b\in {\mathop\mathcal{BMO}_w({\mathbb R}^n)}$，则 $[b,T]$ 从加权 Hardy 空间 $H_w^1(\mathbb R^n)$ 到加权 Lebesgue 空间 $L_w^1(\mathbb R^n)$ 有界。反之，若 $b\in{\rm BMO}({\mathbb R}^n)$ 且经典 Riesz 变换的交换子 $\{[b,R_j]\}_{j=1}^n$ 从 $H^1_w({\mathbb R}^n)$ 到 $L^1_w({\mathbb R}^n)$ 有界，则 $b\in {\mathop\mathcal{BMO}_w({\mathbb R}^n)}$。