半有界算子的幺正不变量及其在反问题中的应用

设 $L_0$ 是可分希尔伯特空间 ${\cal H}$ 中具有非零缺陷指标的闭稠定对称半有界算子。我们为 $L_0$ 关联一个度量空间 $\Omega_{L_0}$，称之为{\it 波谱}，它由方程 $u_{tt}+(L_0)^*u=0$ 所支配的动力系统的轨迹 $\{u(t)\}_{t \geq 0}$ 构造而成。波谱是通过与该系统相关的相关冯·诺依曼算子代数引入的。幺正等价算子的波谱是等距的。在{\it 未知}流形的反问题中，需要通过动力学或谱边界数据来恢复黎曼流形 $\Omega$。我们证明，对于一类通用的流形，$\Omega$ 与作用在 ${\cal H}=L_2(\Omega)$ 中的最小拉普拉斯算子 $L_0=-\Delta|_{C^\infty_0(\Omega\backslash \partial \Omega)}$ 的波谱 $\Omega_{L_0}$ {\it 等距}，而 $L_0$ 由反问题数据在幺正等价意义下唯一确定。由此，可以通过“数据 $\Rightarrow L_0 \Rightarrow \Omega_{L_0} \overset{\rm isom}= \Omega$”的方案恢复流形。波谱与描述有限速度波传播过程的一大类动力系统相关。本文阐明了边界控制方法（Belishev, 1986）的算子背景，该方法基于反问题与系统及控制理论之间的联系。